Quadratische Gleichungen lösen
Geben Sie a, b und c ein und lösen Sie ax² + bx + c = 0: Nullstellen, Diskriminante, Scheitelpunkt, Linearfaktoren und Graph – mit ausführlichem Rechenweg.
- Nullstellen & Scheitel
- Mit Rechenweg
- Graph
- Privat
Geben Sie die Koeffizienten von a·x² + b·x + c = 0 ein. Negative Zahlen und Dezimalzahlen sind möglich; a darf nicht 0 sein.
Schritt für Schritt
So lösen Sie eine quadratische Gleichung
Drei Koeffizienten genügen.
- 1
Gleichung in Normalform bringen
Stellen Sie sie zu ax² + bx + c = 0 um, sodass auf einer Seite null steht.
- 2
a, b und c eingeben
Tippen Sie die drei Koeffizienten samt Vorzeichen ein. Dezimalzahlen sind erlaubt.
- 3
Lösungen ablesen
Sie erhalten die Nullstellen, die Diskriminante, den Scheitelpunkt, weitere Darstellungen, den Rechenweg und den Graphen.
Alles zur Parabel auf einen Blick
Für Mathe-Hausaufgaben und zur Kontrolle der eigenen Rechnung.
Alle Lösungsfälle
Zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen – jeder Fall wird erkannt und erklärt.
Exakte Form
Lösungen wie 1 ± √2 erscheinen exakt und zusätzlich als Dezimalzahl.
Scheitelpunkt und Symmetrie
Der Scheitelpunkt der Parabel, ihre Symmetrieachse und die Öffnungsrichtung.
Weitere Darstellungen
Faktorisierte Form a(x − x₁)(x − x₂) und Scheitelpunktform a(x − d)² + e.
Graph
Die Parabel mit markierten Nullstellen und Scheitelpunkt.
Link zu Ihrer Berechnung
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Privat
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Mitternachtsformel und pq-Formel erklärt
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Ihre Lösungen liefert die Mitternachtsformel (abc-Formel): x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Für x² − 3x + 2 = 0 ist a = 1, b = −3 und c = 2, also x = (3 ± √(9 − 8)) ÷ 2 = (3 ± 1) ÷ 2 – die Lösungen sind x = 1 und x = 2. Teilt man die Gleichung zuerst durch a, erhält man die Normalform x² + px + q = 0 und kann die pq-Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q) verwenden; beide Formeln liefern dasselbe.
Der Ausdruck unter der Wurzel, D = b² − 4ac, ist die Diskriminante. Sie verrät die Art der Lösungen, bevor man rechnet: Ist D positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist D null, gibt es eine doppelte Lösung; ist D negativ, sind die Lösungen zwei konjugiert komplexe Zahlen, und die Parabel schneidet die x-Achse nicht.
Der Graph von y = ax² + bx + c ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei x = −b ÷ 2a, genau in der Mitte zwischen den Nullstellen; sie ist nach oben geöffnet, wenn a positiv ist, und nach unten, wenn a negativ ist. Nach dem Satz von Vieta ergeben die Lösungen addiert −b ÷ a und multipliziert c ÷ a – eine schnelle Probe.
Was die Diskriminante verrät
| Diskriminante | Lösungen | Beispiel |
|---|---|---|
| D > 0, Quadratzahl | Zwei rationale Lösungen | x² − 3x + 2 = 0 → 1 und 2 |
| D > 0, keine Quadratzahl | Zwei irrationale Lösungen | x² − 2x − 1 = 0 → 1 ± √2 |
| D = 0 | Eine doppelte Lösung | x² + 2x + 1 = 0 → −1 |
| D < 0 | Zwei komplexe Lösungen | x² + 2x + 2 = 0 → −1 ± i |
Tipps
- Lineare, kubische und andere Gleichungen sowie Gleichungssysteme löst der Gleichungsrechner.
- Zwischendurch Wurzeln oder Potenzen ausrechnen? Nutzen Sie den Rechner Wissenschaftlicher Taschenrechner.
- Koeffizienten als Brüche? Kürzen Sie sie zuerst mit dem Bruchrechner.
- Prüfen Sie vor der Formel, ob sich die Gleichung leicht faktorisieren lässt: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) ist auf einen Blick gelöst.
Häufig gestellte Fragen
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Wie lautet die Mitternachtsformel?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Sie liefert die Lösungen jeder Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0.
Was ist der Unterschied zur pq-Formel?
Die pq-Formel x = −p/2 ± √((p/2)² − q) gilt für die Normalform x² + px + q = 0, also wenn vor x² eine 1 steht. Teilen Sie die Gleichung vorher durch a, dann sind p = b/a und q = c/a.
Was sagt die Diskriminante aus?
D = b² − 4ac. Bei D > 0 gibt es zwei reelle Lösungen, bei D = 0 eine, bei D < 0 zwei komplexe Lösungen.
Wie finde ich den Scheitelpunkt einer Parabel?
Die x-Koordinate ist −b ÷ 2a; einsetzen in die Funktion ergibt die y-Koordinate. Für y = x² − 3x + 2 liegt der Scheitelpunkt bei (1,5 | −0,25).
Was passiert, wenn a gleich 0 ist?
Dann fällt der x²-Term weg und die Gleichung ist linear: bx + c = 0 mit der einzigen Lösung x = −c ÷ b. Nutzen Sie dafür den Gleichungsrechner.
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